Pembuktian RumusMenghitung FPB dan KPKPaling Mudah

Pembuktian rumus atau
penggunaan rumus?
Paman APIQ telah
melontarkan isu tersebut
beberapa waktu lalu. Dengan
menggunakan otak kanan,
Paman APIQ menyarankan
agar kita memanfaatkan
pembuktian rumus dan
pengunaannya secara variatif.
Bagi siswa pada umumnya,
lebih penting dapat
memanfaatkan rumus secara
kreatif. Sementara beberapa
siswa khusus perlu
mendalami pembuktian
rumus.
Bagaimana untuk guru?
Paman APIQ menyarankan
agar para guru sebaiknya
dapat mahir dua-duanya:
pembuktia rumus dan
pemanfaatan rumus.
Berikut ini adalah pembuktian
rumus untuk menghitung FPB
yang paling mudah.
Sedangkan pembuktian
menghitung KPK paling
mudah sudah saya tuliskan
beberapa waktu yang lalu.
FPB: Faktor Persekutuan
terBesar
KPK: Kelipatan Persekutuan
terKecil
Untuk himpunan bilangan asli,
tunjukkan bahwa bila
m – n = s
dan s membagi habis n
maka
s = FPB.
Pertama, mari kita batasi
agar lebih mudah.
m > n
m =< 2n
Kita dapat menyatakan:
m = p x FPB
n = q x FPB
m – n = s
pxFPB – qxFPB = s
(p-q) FPB = s
n/s =
= (qxFPB)/((p-q)FPB)
= q/(p-q)
(p-q) FPB = s
Semua bilangan di atas
adalah bilangan asli.
Jika s adalah FPB maka dapat
membagi habis m – n.
(Terbukti. Implikasi dari s
adalah FPB).
Kini kita tinggal membuktikan
implikasi arah sebaliknya.
Jika s dapat membagi habis
m-n maka s adalah FPB.
m – n = s
(p-q).FPB = s
Semua bilangan di atas
adalah bilangan asli.
Karena m =< 2n maka p-q = 1
Jadi s = FPB. (Terbukti).
n/s =
= (qxFPB)/((p-q)FPB)
= q/(p-q)
Karena s dapat membagi
habis n maka n/s adalah
bilangan bulat maka p – q =
1.
Jika p – q = 1 maka
s = (p – q) FPB
s = FPB
Dengan demikian terbukti
bahwa
jika m – n = s dan s dapat
membagi habis n maka s =
PFB.
Contoh:
42 – 35 = 7
Karena 7 dapat membagi
habis 35 maka 7 adalah FPB.
50 – 48 = 2
Karena 2 dapat membagi
habis 48 maka 2 adalah FPB.
Bagaimana jika s tidak dapat
membagi habis n?
Seperti
35 – 25 = 10
Tentu kita dapat melakukan
pengurangan berulang,
25 – 10 = 15
15 – 10 = 5
5 dapat membagi habis 10
maka
5 adalah FPB antara 10 dan
15,
5 adalah FPB antara 10 dan
25,
5 adalah FPB antara 25 dan
35.
Dengan mendefinisikan
pengurangan berulang
sebagai pembagian maka
proses perhitungan FPB
menjadi lebih cepat lagi.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…